O infinito, o imensurável e o ilimitado: diferenças conceituais

Símbolo do infinito, criado em 1655 pelo matemático inglês John Wallis.

Qual é a diferença entre os conceitos de infinito, ilimitado e imensurável? Pois bem, cada palavra pode ter o mesmo significado (pois são sinônimos), porém tudo depende do contexto em que estão inseridas, ipso facto (consequentemente), variará seu significado.

O primeiro conceito a ser trabalhado é o de infinito. Oriundo do latim, o termo infinitus implica algo sem fim. Porém, existem diferentes tipos de infinito: potencial, atual (real), absoluto (transcendental)ⁱ.

Segundo Bradley Dowden, o conceito de infinito potencial trata o infinito como um processo ilimitado ou não-terminante que se desenvolve ao longo do tempo. Em contraste, o conceito de infinito real trata o infinito como atemporal e completo. O infinito transcendental (absoluto) é o menos preciso dos três conceitos e é mais comumente usado em discussões de metafísica e teologia para sugerir transcendência da compreensão humana ou capacidade humana. O autor apresenta alguns exemplos: o conjunto de inteiros é infinito, assim como o número de localizações (pontos do espaço) entre Londres e Moscou. “O comprimento máximo de sentenças gramaticais em inglês é potencialmente infinito, e assim é a quantidade total de memória em uma máquina de Turing, um computador ideal. O poder de um ser onipotente é transcendentalmente infinito”ⁱⁱ.

Abordando cada noção de infinito, temos, primeiramente, o infinito potencial (do latim tardio potentis,“de acordo com possibilidades ou a potência”) que se trata de algo que não é infinito, mas continua expandindo-se. Por exemplo, os números são finitos, mas aumentam sem fim. Dito de outro modo, potencial refere-se ao número que, sendo algo finito (ou crescendo finitamente), nunca chegará a ser infinito, pois não existe um número infinito, ou o infinito em si não é um número (pois não respeita as mesmas leis da aritmética)ⁱⁱⁱ. O termo também pode estar ligado a conceitos como o potencial infinito do universo, “onde há uma possibilidade ilimitada de eventos ou manifestações^iv”.

No campo da Filosofia, inicialmente, Anaximandro de Mileto (inserindo o conceito de ápeiron), Pitágoras, Zenão de Eleia (com seus paradoxos), Platão e Aristóteles buscaram elucidar sobre o infinito potencial^v. Não abordarei a perspectiva de cada autor, porém dissertarei rapidamente a teoria de Aristóteles.

Dowden pontua o conceito de infinito potencial tem origem na teoria aristotélica de atualidade e potencialidade. Em sua concepção:

“O infinito atual não é um processo temporal, mas deve existir em ato e de todo a um dado momento, enquanto que o infinito potencial ocorre como processo sem fim ao longo do tempo, porém em objetos que atualmente são finitos. Nesse contexto, o infinito potencial ocorre particularmente em aplicações de infinita divisibilidade matemática, sem que, no entanto, o infinito potencial possa se tornar um infinito atual (por exemplo, um objeto com extensão infinita ou outras grandezas e conjuntos infinitos em ato)”^vi.

Aristóteles faz a distinção entre infinito concernente à adição e divisão, e citou Platão, que também “dividia em grande infinito aquele de extensão em direção ao máximo absoluto, enquanto o pequeno infinito era de acordo com a divisão ao mínimo absoluto”^vii. O Estagirita definiu ainda que tanto o movimento quanto o tempo são infinitos em dois sentidos:” a) no sentido em que eles são potencialmente divisíveis e não há limite para esse processo de divisão e b) no sentido em que a infinitude do tempo é uma manifestação da infinitude do movimento, ou seja, uma prova de que o cosmo não teve início nem terá fim, em suma, uma prova da eternidade do mundo”^viii.

O infinito atual (do latim tardio actualis, “em ato”), real, ou ainda infinito completo, refere-se ao infinito que está presente e realizado no momento presente. Ou seja, pode ser associado a conceitos como a totalidade do infinito que está hodiernamente acessível. Por exemplo, ao dizer que “a imaginação humana tem um potencial infinito”, pode-se subtender que “infinito” sugere algo além do alcance.

Filosoficamente, Aristóteles nega a existência do infinito atual, quer ele seja físico ou abstrato. Contrariando o Estagirita, Gregório de Níssa e Nicolau de Cusa admitiram pensar o infinito como atual, ou seja, Deus poderia ter uma natureza infinita atual, e não apenas um processo com potencial. Na matemática, existe uma diferença entre uma sucessão potencial infinita de elementos, discretos, e a sucessão de pontos de um segmento de reta, intitulado linha contínua. No primeiro caso (sucessão potencial infinita de elementos) poderá sempre acrescentar um elemento, dando mais um passo para o elemento seguinte. Uma sucessão é infinitamente extensível. No caso da linha contínua, não faz sentido falar do elemento seguinte: entre um determinado ponto e outro posterior, será sempre possível encontrar um ponto intermediário, e assim consecutivamente, até ao infinito. Um segmento contínuo é infinitamente divisível. Este segundo tipo de infinito (linha contínua) levanta grandes debates sobre o infinito potencial, pois parte-se de um todo dado (o segmento de reta) que pode conter um si uma infinidade de elementos. O infinito atual (em ato) parece ser uma propriedade necessária do contínuo^ix.

As propriedades do segmento de reta supracitadas foram explicadas através do conceito de infinitésimo: "números" indefinidamente pequenos, menores do que qualquer número real. Tal conceito origina-se na Grécia Antiga, no atomismo de Leucipo de Mileto (século V a.C.) e seu discípulo Demócrito de Abdera (460-370 a.C.). O atomismo foi duramente criticado ao longo da história, tendo sido Zenão de Eleia (495-430 a.C.), através dos seus paradoxos, o representante de um dos mais famosos ataques. O conceito numérico foi recuperado mais tarde, para servir de fundamento ao cálculo infinitesimal de Gottfried Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1643-1727). Apesar da sua eficácia no campo da matemática e na física, os infinitésimos apresentavam inconsistências, pelo fato de serem, ao mesmo tempo, não-finitos e não-nulos. Os infinitésimos acabaram sendo banidos da matemática com a formulação do cálculo diferencial e integral por Karl Weierstrass (1815-1897), que substitui o infinitésimo pelo conceito de limite. Posteriormente, os infinitésimos foram mais recuperados na matemática por Abraham Robinson (1918-1974), que em 1966 apresentou uma nova teoria para a análise matemática baseada nos infinitésimos, chamada de “análise não-standard”, que projetou um fundamento teórico para a utilização dos infinitésimos tal como Leibniz idealizou^x.

O matemático radicado na Alemanha (nascido no Império Russo), Georg Cantor (1845-1918) foi considerado como o primeiro teórico a dar uma abordagem lógica e racional ao infinito atual. Criou o conceito de número transfinito, que implica a "potência" da cardinalidade de um conjunto. O primeiro transfinito, ℵ0 (aleph-zero) representa a "quantidade" dos números naturais, sendo por isso um infinito atual (em ato). Georg provou que existem conjuntos infinitos de tamanhos distintos, distinguiu os “conjuntos enumeráveis dos não-enumeráveis e demonstrou que o conjunto dos números racionais Q é enumerável, enquanto que o conjunto dos números reais R é não-enumerável, usou para isso o famoso método conhecido como Diagonal de Cantor”^xi. Em síntese, os “números transfinitos, são aqueles que transcendem a finitude, estão além, são usados para representar o número de elementos de conjuntos infinitos”^xii.

Para Carl Boyer, a partir dos trabalhos desenvolvidos por Cantor, vários paradoxos que remetiam ao conceito de infinito foram esclarecidos. A teoria dos números transfinitos, atualmente, permite contar o infinito e operar com estes cardinais. “O infinito potencial de Aristóteles deixa então de imperar solitariamente na matemática e passa a dividir o trono com o infinito atual”^xiii.

Já o conceito de infinito absoluto, ou transcendental, pode ser entendido como a representação de um infinito que é completo e abrangente, não restrito por limitações. O termo pode ser ainda posto como algo metafísico que transcende as limitações do finito e abrange tudo o que é possível.

O termo foi citado inicialmente no século XII d. C., por Tomás de Aquino, em suas obras De aternitate mundi e na Suma Teológica. Fábio Pereira entende que “no século XIII, há fortes razões para não aceitar a possibilidade lógica de séries causais acidentalmente ordenadas regressivas ao infinito, em que um existente atual qualquer seja o resultado desse percurso causal que remonta ao infinito”. Tomás rejeitou possibilidade lógica de séries causais essencialmente ordenadas regressivas ao infinito. Tal fato pode sustentar também a rejeição da possibilidade lógica de séries causais acidentalmente ordenadas regressivas ao infinito, as quais Tomás aceita”^xiv.

No século XIX, Georg Cantor desenvolveu a teoria dos números transfinitos. Devido às próprias limitações teóricas, o matemático concluiu a existência de um infinito Absoluto, que consegue estar para além de toda a criação racional. Segundo Rodrigo Martins, para Cantor,

“o infinito de nível mais alto era Deus, que era absoluto e inatingível. Logo ‘abaixo’, vêm os infinitos chamados de ℵn, onde n é a potência ou ‘tamanho’ do infinito. Nessa concepção, a quantidade de infinitos racionais (ℵ0, contável e enumerável) é menor que a quantidade de infinitos irracionais (ℵ1, contínuo e não numerável). A letra ℵ (alef) vem do alfabeto hebraico e representa a natureza infinita e a unicidade de Deus. Essa letra foi escolhida para simbolizar um novo começo para a Matemática a partir da inclusão do conceito de infinito real ou absoluto”^xv.

O conceito de infinito absoluto ainda é palco de muita discussão no meio acadêmico. Não desejo (e não tenho conhecimento suficiente para) apresentar uma conclusão sobre o tema. Porém antes de avançar para o próximo termo é necessário fazer as seguintes perguntas: há realmente algo infinto no mundo? O infinito é algo indefinido e incompleto, ou é completo e definido? Novamente, a Ciência e a Filosofia, não têm uma resposta definitiva.

O imensurável, diferentemente do infinito, tem origem no latim immeasurabilis, que significa literalmente “algo que não pode ser medido” ou “que não possui medida”. Em outras palavras, o imensurável significa algo que se desconhece limite, contudo, pode ter um limite desconhecido ou oculto; logo, imensurável é algo que tem fim, mas não é conhecido. Por exemplo “[existe] um mundo muito vasto para ser visto por completo, porém se fosse possível ser visto inteiro, poderia chegar ao fim”^xvi.

Já o ilimitado, do latim illimitātus, significa “não limitado” ou “sem limites”. Enquanto imensurável é algo que não possa ser mensurável, ilimitado é algo que não possui limites ou restrições, o que não significa infinito. A diferença entre “ilimitado” e “infinito” está na conjuntura em que são aplicados. Na prática, quando se trata de algo mensurável e sem restrições conhecidas, “ilimitado” pode ser escolhido apropriadamente. Ao discutir conceitos mais abstratos, teóricos ou transcendentes além das limitações práticas, “infinito” pode ser adotado^xvii.

Concluindo, o conceito de infinito (potencial, real ou absoluto), usado em vários campos, como a Matemática, Filosofia e a Teologia, adquire diferentes significados dependendo do contexto^xviii. Imensurável é empregado mais de contextos conceituais: pode ser utilizado em momentos onde se deseja enfatizar a grandeza ou a intensidade de algo que vai além dos limites da medição ou compreensão. Ilimitado é aplicável em contextos práticos, onde se quer expressar a falta de restrições tangíveis, como recursos financeiros, acesso a informações etc.

Notas bibliográficas:

i AnderBR. Diferença entre Infinito, Imensurável e Ilimitado. In: Crossverse Wiki. Publicado em: 19 out. 2023. Disponível em: <https://crossverse.fandom.com/pt-br/wiki/Blog_de_usu%C3%A1rio:AnderBr/Diferen%C3%A7a_entre_Infinito,_Imensur%C3%A1vel_e_Ilimitado>. Acesso em: 26 fev. 2025.

ii DOWDEN, Bradley. The Infinite. California State University, Sacramento. In: Internet Encyclopedia of Philosophy. Disponivel em: <https://iep.utm.edu/infinite/>. Acesso em: 04 mar. 2025.

iii “Uma grandeza, seja ela muito grande ou muito pequena, se for finita é mensurável, pois pode ser medida, diferente do que é infinito, que não pode ser contado nem medido e por isso é imensurável”. DELFINO, Hudson Sathler. O conceito de infinito: uma abordagem para a Educação Básica. (Dissertação de Mestrado em Matemática). Viçosa: UFV, 2015: 4.

iv AnderBr. Ibidem.

v MONTEIRO, Gisele de Lourdes. Considerações históricas sobre o infinito e alguns de seus paradoxos. (Trabalho de Graduação em Licenciatura em Matemática). Guaratinguetá: UNESP, 2015, p. 16-20. Disponível em: <https://repositorio.unesp.br/server/api/core/bitstreams/8ed43eea-c892-4ff1-bc98-00a842f2090b/content>. Acesso em: 05 mar. 2025.

vi DOWDEN, Op. cit.

vii SOTEROPOULOS, Ion. Metaphysics of Infinity: The Problem of Motion and the Infinite Brain. Lanham, Maryland: University Press of America, 2013, p. 27. Disponível em: <https://books.google.com/books?id=p21BAgAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA27&dq=two+infinities+aristotle+the+small+physics+203a&hl=pt-BR>. Acesso em: 05 mar. 2025.

viii PUENTE, Fernando Rey. O pensamento e o Ápeiron em Aristóteles. In: HYPNOΣ, ano 6 / nº 7 - 2º sem. 2001 - São Paulo, p. 162. Disponível em: <https://www.researchgate.net/profile/Fernando-Puente-2/publication/337937607_O_pensamento_e_o_Apeiron_em_Aristoteles/links/5df6169ba6fdcc2837227427/O-pensamento-e-o-Apeiron-em-Aristoteles.pdf>. Acesso em: 05 mar. 2025.

ix LOMBARDO-RADICE, Lucio. O Infinito: de Pitágoras a Cantor: itinerários filosóficos matemáticos de um conceito base. Lisboa: Editorial Notícias, 1981.

x DE CARVALHO, T.,D’OTTAVIANO, I.. Sobre Leibniz, Newton e infinitésimos, das origens do cálculo infinitesimal aos fundamentos do cálculo diferencial paraconsistente. Educação Matemática Pesquisa ISSN 1983-3156, América do Norte, 8, mar. 2008.

xi DELFINO, Hudson. O conceito de infinito: uma abordagem para a Educação Básica. (Dissertação de Mestrado em Matemática). Viçosa: UFV, 2015, p. 9

xii DELFINO, ibidem, p. 8.

xiii BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomides. São Paulo: Edgard Blucher, Editora da Universidade de São Paulo, 1974 apud DELFINO, ibidem, p. 11.

xiv GAI PEREIRA, Fábio. Séries infinitas, existência de Deus e criação do mundo em Tomás de Aquino. (Tese de Doutorado em Filosofia). Porto Alegre: UFRS, 2023, p. 8.

xv MARTINS, Rodrigo. O Infinito Absoluto. In: Atitude Reflexiva. Publicado em: 14 ago. 2017. Disponível em: <http://atitudereflexiva.wordpress.com/2017/08/14/o-infinito-absoluto/>. Acesso em 06 mar. 2025.

xvi AnderBr, Ibidem.

xvii AnderBr, Ibidem. "A distinção entre infinito e ilimitado foi feita por Aristóteles, que denominava o ilimitado de infinito por semelhança. Enquanto no infinito é sempre possível tomar uma nova parte, mas essa parte é sempre nova, no Ilimitado a parte que se pode tomar nem sempre é nova. Um anel sem engaste é um exemplo de Ilimitado: é possível ir sempre além, ao longo de sua circunferência, mas estar-se-á passando sempre pelos mesmos pontos. Essa distinção, que ficou esquecida durante séculos, foi retomada por Einstein quando este afirmou que o mundo é finito e ao mesmo tempo Ilimitado, exatamente no sentido aristotélico". In: Ilimitado. Dicionário de Filosofia. Só Filosofia. Disponível em: <https://filosofia.com.br/vi_dic.php?pg=1&palvr=I>. Acesso em: 06 mar. 2025.

xviii Para mais detalhes, cf. COSTA, João Paulo Pita da; MADEIRA, Marta Augusta da C. Ramires. História do Conceito de Infinito. Universidade Lusófona de Humanidades e Tecnologias. Curso de Matemática. Cadeira de História da Matemática, s/d. Disponível em: <https://edmatematica1.wordpress.com/wp-content/uploads/2014/07/oinfinitoemmatematica1.pdf>. Acesso em: 06 mar. 2025; Infinito atual e infinito potencial. Wikipedia. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Infinito_atual_e_infinito_potencial>. Acesso em: 06 mar. 2025; Infinito. Wikipedia. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Infinito>. Acesso em: 06 mar. 2025; Cf. alguns debates: https://pt.quora.com/O-infinito-existe-Eu-s%C3%B3-consigo-ver-o-infinito-na-matem%C3%A1tica-de-forma-te%C3%B3rica-mas-no-Universo-nada-%C3%A9-infinito; https://www.quora.com/Is-infinity-a-real-concept-used-in-the-real-world; https://pt.quora.com/O-infinito-%C3%A9-algo-real; https://pt.quora.com/O-que-%C3%A9-o-infinito; https://pt.quora.com/Se-o-infinito-n%C3%A3o-%C3%A9-um-n%C3%BAmero-ent%C3%A3o-o-que-%C3%A9; https://www.reddit.com/r/askphilosophy/comments/y6oux6/what_is_diffrence_with_absolute_infinite_and/?tl=pt-br&rdt=55684#:~:text=No%20cont%C3%Adnuo%2C%20o%20todo%20%C3%A9,n%C3%Bamero%20maior%2C%20nem%20linha%20menor.&text=Costumo%20dizer%20que%20existem%20tr%C3%Aas%20graus%20de%20infinito.

Link da imagem: <https://i0.wp.com/www.culturaespiritual.com.br/wp-content/uploads/2019/08/infinito.jpg?resize=300%2C300&ssl=1>. Acesso em: 06 mar. 2025.