Enkráteia: autodomínio ou contenção

 

Imagem: A morte de Sócrates, Jacques-Louis David, 1787.

Na filosofia da Grécia Antiga, Enkráteia, do grego ἐνκράτεια ("em poder"), refere-se ao estado de poder sobre algo, ou ainda, é comumente tratado como autodomínio, onde o ser humano possui o controle sobre as próprias paixões e instintos. O conceito foi citado, inicialmente, por Sócrates e três de seus alunos: Xenofonte, Isócrates e Platão.

A priori, o próprio nome Sócrates introduz duas noções e é bastante sugestivo: sózo significa “aquele que salvaguarda” e kratós, o poder; e “enkráteia”, contenção / domínio de si e kartería, firmeza, robustez. Nesse sentido, Alcibíades, estratego e político ateniense, afirma que Sócrates poderia beber o quanto se lhe mandar, “sem que jamais se embriague”. E ainda, diz que “durante o inverno, ele saía com um manto do mesmo tipo que antes costumava trazer, e descalço sobre o gelo marchava mais à vontade que os outros calçados”. Tais características socráticas (autocontrole ou contenção, firmeza e robustez) permaneceram nos cínicos e nos estoicos, mas também em Platão, Xenofonte e nos hedonistas cirenaicos, para os quais, “o sábio, mesmo nas festas báquicas, não se corromperá”. Nessa lógica, “o domínio de si é a condição para a autonomia, pois é ele que garante a autárcheia, a autossuficiência, o depender o mínimo, na medida da condição humana, de qualquer outra coisa que não de si mesmo”ⁱ.

Reforçando tal perspectiva, Xenofonte diz que Sócrates é o "panton anthropon enkratestatos”, id est, “o mais autocontrolado de todos os humanos”. Sócrates, em seu discurso Apologia, professa ter enkráteia. E é essa noção, especificamente, que o filósofo toma como sinônimo da prudência (sophrosyne) que o oráculo de Delfos atribui a eleⁱⁱ. Na Apologia, Sócrates atribui a sophrosyne como responsável pela justiça perfeita e liberdade inigualável. Porém, na Memorabilia, Sócrates afirma que enkráteia, não sophrosyne, que é motora da justiça perfeita e da liberdade inigualável. Na obra citada, o filósofo explica a Eutidemo que ele deve cultivar enkráteia acima de todas as coisas se ele quiser possuir liberdade (eleutheria). "One cannot be free, he warns him, if one is ruled by one’s bodily pleasures and appetites" (não se pode ser livre, ele o avisa, se alguém é governado pelos prazeres e apetites corporais)ⁱⁱⁱ.

Segundo Kritian Urstad e Tor Freyr, o conceito de prudência para o Sócrates de Xenofonte está tão intimamente conectado com o controle dos próprios desejos e paixões que ele frequentemente usará sophrosyne e enkráteia de forma intercambiável^iv. Corroborando, Paul Cournari afirma que Xenofonte, em todos os seus escritos, confunde temperança (sôphrosynè) e continência (enkráteia). Essas duas qualidades lhe permitem fundar todas as outras virtudes: condições de liberdade, justiça, amizade, riqueza, pensamento. “O autocontrole está na base da utilidade de todas as coisas”, diz o autor^v.

Em síntese, para Xenofonte, enkráteia é o “fundamento de todas as virtudes”^vi. Porém o filósofo entendia que a virtude tinha três partes principais (enkráteia, sophrosyne e epimeleia heatou [cuidado de si]) e duas de menor grau (coragem [andreia] e sabedoria [sophia])^vii. Nili Amit ressalta que a pessoa que exercesse epimeleia e sophrosyne, seria recompensada com a realização de eudaimonia, o "bem supremo”, ou a plenitude, que se pode alcançar na vida. Em vez de Sócrates, que via uma prática de enkráteia para beneficiar alguém após a morte, Xenefonte pensava que o humano que não praticava enkráteia nada mais era do que uma “besta seguindo uma isca”^viii.

Isócrates também utiliza o termo enkratés, no sentido de autocontrole ou continência^ix, porém confunde-o com o conceito de temperança. Segundo Paul Cournarie, o filósofo é movido por um interesse semelhante ao de Platão ou Xenofonte, ligando psicologia e política no centro de um projeto educacional onde a temperança (sôphrosynè) desempenha um papel fundamental. Isto é por vezes indiferentemente substituído pela continência (enkráteia), que diz respeito a moral ou a política. Isócrates, contudo, parece fazer um uso original da temperança (sôphrosynè), que expressa o ponto de passagem entre a moral ou a política, excluindo a enkráteia^x.

A temperança, em outras palavras, diferentemente de enkráteia, está no centro do pensamento geopolítico de Isócrates, o que é notório nos discursos em torno da figura do príncipe ideal, onde o soberano representa a união mais próxima entre moralidade e política. A palavra sôphron é usada no sentido de temperança sexual, assimilado a enkráteia, antes de ser distinguida dela. Essa imprecisão, porém, “permite que o soberano seja apresentado como um cidadão como qualquer outro no exato momento em que afirma sua distinção. Em Isócrates, o rei imita o povo que imita o rei. A confusão é o vetor de uma profunda subversão, permitindo aclimatar a figura do soberano”^xi. A temperança é tratada como um princípio de continuidade entre o rei e povo. Existe um dever dos líderes em melhorar os seus súditos, ou seja, gerar um progresso moral, orientando-os ao trabalho e a sabedoria e fazê-los viver com mais prazer e segurança. Tal progresso moral é adquirido pela imitação.

Platão só usou o termo enkráteia com moderação e tardiamente. O Cármides, inteiramente dedicado à definição de temperança (sôphrosynè), não diz uma palavra sobre enkráteia e temos que aguardar pelos diálogos Górgias e República para ver Platão trabalhar nas duas noções em conjunto^xii. Segundo Livio Rossetti, “Platão teorizou não só o primado da alma racional sobre a alma irascível e sobre a alma concupiscível, mas também o direito-dever da alma racional de governar os impulsos irracionais”^xiii. Platão também negou a realidade da akrasia (ausência de poder ou controle sobre os próprios desejos) e, portanto, da enkráteia porque ambas estão interligadas entre si e com os resultados lógicos da busca do conhecimento. Estudos recentes observaram a possibilidade de enkráteia e akrasia estarem dentro dos elementos da alma desde o início^xiv.

Por fim, Aristóteles, complementarmente, entende que enkráteia é o oposto de akrasia, que é uma falta de controle sobre os próprios desejos^xv. Segundo Aline Valéria,

“O que há de peculiar na akrasia (bem como na enkrateia) e é princípio fundamental para que a sua existência seja a evidência de um conflito moral que indica a presença atuante de um algo mais forte que a razão que acaba impedindo o agente (neste caso, o acrático) sustentar o seu melhor julgamento e consequentemente realizar a ação correta.

[Existe ainda um] arrependimento que o acrático sente ao final de sua ação moralmente condenável. O fato de o acrático ter consciência de que deveria estar fazendo algo, mas no ímpeto do prazer acaba abandonando a sua decisão, a frustração de ter fracassado marca uma característica importante em sua disposição, pois, o arrependimento representa uma possibilidade de cura, isto é, apesar de o acrático sentir prazer na ação que realiza, ele quer, em certa medida, superar os seus apetites e ser uma pessoa moralmente elogiada da próxima vez. E o porquê dessa característica ser tão importante se deve ao fato de que por vezes as ações acráticas e as ações intemperantes parecem se “confundir” em algum momento, uma vez que a finalidade de ambas as atitudes inevitavelmente é o prazer, e esta característica acaba sendo o fio condutor na distinção entre fazer o que sabe ser errado quando se delibera em vista disso e fazer o que sabe ser errado mesmo quando tivera previamente decidido não fazer isso”^xvi.

Nesse sentido, uma pessoa no estado de enkráteia realizaria uma escolha positiva devido às suas consequências positivas, enquanto uma pessoa num estado de akrasia realizaria o que sabe não ser uma escolha positiva, apesar das suas consequências negativas, devido aos prazeres imediatos que a escolha proporciona^xvii.

Notas e referências bibliográficas:

i RIBEIRO, Luís Felipe Bellintani. História da Filosofia I. Florianópolis: Filosofia/ EaD/ UFSC, 2008, p. 106.

ii URSTAD, Kristian.; FREYR, Tor. Philosophy as a Way of Life in Xenophon's Socrates. In: E-Logos, Electronic Journal for Philosophy. ISSN 1211-0442, 12/2010, University of Economics Prague, p. 6. Disponível em: <https://e-logos.vse.cz/pdfs/elg/2010/01/12.pdf>. Acesso em: 16 mar. 2025.

iii Idem, ibidem.

iv Idem.

v COURNARIE, Paul. “Ἐγκράτεια: politique, morale, subjectivation (IVe siècle av. J.-C.)”. In: Essais [Online], 11 | 2017, publicado em: 14 de outubro de 2020. Disponível em: <http://journals.openedition.org/essais/3522>. Acesso em: 15 mar. 2025.

vi JAEGER, W. Paideia: The Ideals of Greek Culture. Volume 2: In Search of the Divine Centre. New York and Oxford: Oxford University Press, 1943, p. 54

vii AMIT, Nili Alon, “Xenophon's Virtue Personified”, Kentron [Online], 32 | 2016, Online desde 10 de maio de 2017. Disponível em: <http://journals.openedition.org/kentron/855>. Acesso em: 16 mar. 2025.

viii Idem.

ix NEMBROT, Milena Lozano. La erótica griega y el problema de la enkráteia. In: Actas del Tercer Simposio Nacional de Filosofía Antigua “Legalidad cósmica y legalidad humana en la Filosofía Antigua” / María Cecilia Colombani... [et al.]; compilado por María Cecilia Colombani; Guido Fernández Parmo; Juan Manuel Gerardi. - 1a ed. - Mar del Plata: Universidad Nacional de Mar del Plata, 2018, pp. 196.

x COURNARIE, ibidem.

xi Idem.

xii Cf. VIANNA FILHO, Voltaire Ribeiro. Investigação acerca da noção de sophrosyne no Cármides. (Dissertação de Mestrado em Filosofia). Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2022. Disponível em: <https://repositorio.ufrn.br/bitstream/123456789/52625/1/Investigacaoacercanocao_ViannaFilho_2022.pdf» Acesso em: 16 mar. 2025.

xiii ROSSETTI, Livio. Estratégias no tratamento das paixões (de Antifonte a Sócrates). In: Hypnos, ano 14 / nº 20 - 1º sem. 2008 - São Paulo, p. 3. Disponível em: <https://hypnos.org.br/index.php/hypnos/article/view/246/256>. Acesso em: 16 mar. 2025.

xiv Cf. DESTRÉE, P. & C. Bobonich (eds.). Akrasia in Greek philosophy. In: Philosophia antiqua, 106, Leiden, Brill. 2007: 126; DORION L-A. Enkrateia and the partition of the soul in the Gorgias. In: Barney R, Brennan T, Brittain C, eds. Plato and the Divided Self. Cambridge: Cambridge University Press; 2012:33-52. doi:10.1017/CBO9780511977831.004.

xv "Aristotle's Ethics". In: The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. 2018. Disponível em: <http://plato.stanford.edu/entries/aristotle-ethics/#Akr>. Acesso em: 16 mar. 2025.

xvi ALMEIDA, Aline Valéria Ramos de. Akrasia e ignorância em Aristóteles. (Dissertação de Mestrado em Filosofia). Salvador: UFBA, 2019, p. 22. Disponível em: <https://repositorio.ufba.br/bitstream/ri/39549/3/Disserta%c3%a7%c3%a3o_AKRASIA%20E%20IGNOR%c3%82NCIA%20EM%20ARIST%c3%93TELES_Aline%20Val%c3%a9ria%20Ramos%20de%20Almeida_com_Ficha_Catalogr%c3%a1fica_e_Ata.pdf>. Acesso em: 16 mar. 2025.

xvii BRICKHOUSE, Thomas; SMITH, Nicolau. Socrates On Akrasia, Knowledge, And The Power Of Appearance. In: Akrasia in Greek Philosophy: From Socrates to Plotinus. BOBONICH, Christopher; DESTRÉE, Pierre (ed.). Series: Philosophia Antiqua, Volume: 106, 2007, p. 9.

Fonte da imagem: <https://vegazeta.com.br/wp-content/uploads/2018/09/QUEM-FOI-S%C3%93CRATES-1200x681.png>. Acesso em: 16 mar. 2025.

O infinito, o imensurável e o ilimitado: diferenças conceituais

Símbolo do infinito, criado em 1655 pelo matemático inglês John Wallis.

Qual é a diferença entre os conceitos de infinito, ilimitado e imensurável? Pois bem, cada palavra pode ter o mesmo significado (pois são sinônimos), porém tudo depende do contexto em que estão inseridas, ipso facto (consequentemente), variará seu significado.

O primeiro conceito a ser trabalhado é o de infinito. Oriundo do latim, o termo infinitus implica algo sem fim. Porém, existem diferentes tipos de infinito: potencial, atual (real), absoluto (transcendental)ⁱ.

Segundo Bradley Dowden, o conceito de infinito potencial trata o infinito como um processo ilimitado ou não-terminante que se desenvolve ao longo do tempo. Em contraste, o conceito de infinito real trata o infinito como atemporal e completo. O infinito transcendental (absoluto) é o menos preciso dos três conceitos e é mais comumente usado em discussões de metafísica e teologia para sugerir transcendência da compreensão humana ou capacidade humana. O autor apresenta alguns exemplos: o conjunto de inteiros é infinito, assim como o número de localizações (pontos do espaço) entre Londres e Moscou. “O comprimento máximo de sentenças gramaticais em inglês é potencialmente infinito, e assim é a quantidade total de memória em uma máquina de Turing, um computador ideal. O poder de um ser onipotente é transcendentalmente infinito”ⁱⁱ.

Abordando cada noção de infinito, temos, primeiramente, o infinito potencial (do latim tardio potentis,“de acordo com possibilidades ou a potência”) que se trata de algo que não é infinito, mas continua expandindo-se. Por exemplo, os números são finitos, mas aumentam sem fim. Dito de outro modo, potencial refere-se ao número que, sendo algo finito (ou crescendo finitamente), nunca chegará a ser infinito, pois não existe um número infinito, ou o infinito em si não é um número (pois não respeita as mesmas leis da aritmética)ⁱⁱⁱ. O termo também pode estar ligado a conceitos como o potencial infinito do universo, “onde há uma possibilidade ilimitada de eventos ou manifestações^iv”.

No campo da Filosofia, inicialmente, Anaximandro de Mileto (inserindo o conceito de ápeiron), Pitágoras, Zenão de Eleia (com seus paradoxos), Platão e Aristóteles buscaram elucidar sobre o infinito potencial^v. Não abordarei a perspectiva de cada autor, porém dissertarei rapidamente a teoria de Aristóteles.

Dowden pontua o conceito de infinito potencial tem origem na teoria aristotélica de atualidade e potencialidade. Em sua concepção:

“O infinito atual não é um processo temporal, mas deve existir em ato e de todo a um dado momento, enquanto que o infinito potencial ocorre como processo sem fim ao longo do tempo, porém em objetos que atualmente são finitos. Nesse contexto, o infinito potencial ocorre particularmente em aplicações de infinita divisibilidade matemática, sem que, no entanto, o infinito potencial possa se tornar um infinito atual (por exemplo, um objeto com extensão infinita ou outras grandezas e conjuntos infinitos em ato)”^vi.

Aristóteles faz a distinção entre infinito concernente à adição e divisão, e citou Platão, que também “dividia em grande infinito aquele de extensão em direção ao máximo absoluto, enquanto o pequeno infinito era de acordo com a divisão ao mínimo absoluto”^vii. O Estagirita definiu ainda que tanto o movimento quanto o tempo são infinitos em dois sentidos:” a) no sentido em que eles são potencialmente divisíveis e não há limite para esse processo de divisão e b) no sentido em que a infinitude do tempo é uma manifestação da infinitude do movimento, ou seja, uma prova de que o cosmo não teve início nem terá fim, em suma, uma prova da eternidade do mundo”^viii.

O infinito atual (do latim tardio actualis, “em ato”), real, ou ainda infinito completo, refere-se ao infinito que está presente e realizado no momento presente. Ou seja, pode ser associado a conceitos como a totalidade do infinito que está hodiernamente acessível. Por exemplo, ao dizer que “a imaginação humana tem um potencial infinito”, pode-se subtender que “infinito” sugere algo além do alcance.

Filosoficamente, Aristóteles nega a existência do infinito atual, quer ele seja físico ou abstrato. Contrariando o Estagirita, Gregório de Níssa e Nicolau de Cusa admitiram pensar o infinito como atual, ou seja, Deus poderia ter uma natureza infinita atual, e não apenas um processo com potencial. Na matemática, existe uma diferença entre uma sucessão potencial infinita de elementos, discretos, e a sucessão de pontos de um segmento de reta, intitulado linha contínua. No primeiro caso (sucessão potencial infinita de elementos) poderá sempre acrescentar um elemento, dando mais um passo para o elemento seguinte. Uma sucessão é infinitamente extensível. No caso da linha contínua, não faz sentido falar do elemento seguinte: entre um determinado ponto e outro posterior, será sempre possível encontrar um ponto intermediário, e assim consecutivamente, até ao infinito. Um segmento contínuo é infinitamente divisível. Este segundo tipo de infinito (linha contínua) levanta grandes debates sobre o infinito potencial, pois parte-se de um todo dado (o segmento de reta) que pode conter um si uma infinidade de elementos. O infinito atual (em ato) parece ser uma propriedade necessária do contínuo^ix.

As propriedades do segmento de reta supracitadas foram explicadas através do conceito de infinitésimo: "números" indefinidamente pequenos, menores do que qualquer número real. Tal conceito origina-se na Grécia Antiga, no atomismo de Leucipo de Mileto (século V a.C.) e seu discípulo Demócrito de Abdera (460-370 a.C.). O atomismo foi duramente criticado ao longo da história, tendo sido Zenão de Eleia (495-430 a.C.), através dos seus paradoxos, o representante de um dos mais famosos ataques. O conceito numérico foi recuperado mais tarde, para servir de fundamento ao cálculo infinitesimal de Gottfried Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1643-1727). Apesar da sua eficácia no campo da matemática e na física, os infinitésimos apresentavam inconsistências, pelo fato de serem, ao mesmo tempo, não-finitos e não-nulos. Os infinitésimos acabaram sendo banidos da matemática com a formulação do cálculo diferencial e integral por Karl Weierstrass (1815-1897), que substitui o infinitésimo pelo conceito de limite. Posteriormente, os infinitésimos foram mais recuperados na matemática por Abraham Robinson (1918-1974), que em 1966 apresentou uma nova teoria para a análise matemática baseada nos infinitésimos, chamada de “análise não-standard”, que projetou um fundamento teórico para a utilização dos infinitésimos tal como Leibniz idealizou^x.

O matemático radicado na Alemanha (nascido no Império Russo), Georg Cantor (1845-1918) foi considerado como o primeiro teórico a dar uma abordagem lógica e racional ao infinito atual. Criou o conceito de número transfinito, que implica a "potência" da cardinalidade de um conjunto. O primeiro transfinito, ℵ0 (aleph-zero) representa a "quantidade" dos números naturais, sendo por isso um infinito atual (em ato). Georg provou que existem conjuntos infinitos de tamanhos distintos, distinguiu os “conjuntos enumeráveis dos não-enumeráveis e demonstrou que o conjunto dos números racionais Q é enumerável, enquanto que o conjunto dos números reais R é não-enumerável, usou para isso o famoso método conhecido como Diagonal de Cantor”^xi. Em síntese, os “números transfinitos, são aqueles que transcendem a finitude, estão além, são usados para representar o número de elementos de conjuntos infinitos”^xii.

Para Carl Boyer, a partir dos trabalhos desenvolvidos por Cantor, vários paradoxos que remetiam ao conceito de infinito foram esclarecidos. A teoria dos números transfinitos, atualmente, permite contar o infinito e operar com estes cardinais. “O infinito potencial de Aristóteles deixa então de imperar solitariamente na matemática e passa a dividir o trono com o infinito atual”^xiii.

Já o conceito de infinito absoluto, ou transcendental, pode ser entendido como a representação de um infinito que é completo e abrangente, não restrito por limitações. O termo pode ser ainda posto como algo metafísico que transcende as limitações do finito e abrange tudo o que é possível.

O termo foi citado inicialmente no século XII d. C., por Tomás de Aquino, em suas obras De aternitate mundi e na Suma Teológica. Fábio Pereira entende que “no século XIII, há fortes razões para não aceitar a possibilidade lógica de séries causais acidentalmente ordenadas regressivas ao infinito, em que um existente atual qualquer seja o resultado desse percurso causal que remonta ao infinito”. Tomás rejeitou possibilidade lógica de séries causais essencialmente ordenadas regressivas ao infinito. Tal fato pode sustentar também a rejeição da possibilidade lógica de séries causais acidentalmente ordenadas regressivas ao infinito, as quais Tomás aceita”^xiv.

No século XIX, Georg Cantor desenvolveu a teoria dos números transfinitos. Devido às próprias limitações teóricas, o matemático concluiu a existência de um infinito Absoluto, que consegue estar para além de toda a criação racional. Segundo Rodrigo Martins, para Cantor,

“o infinito de nível mais alto era Deus, que era absoluto e inatingível. Logo ‘abaixo’, vêm os infinitos chamados de ℵn, onde n é a potência ou ‘tamanho’ do infinito. Nessa concepção, a quantidade de infinitos racionais (ℵ0, contável e enumerável) é menor que a quantidade de infinitos irracionais (ℵ1, contínuo e não numerável). A letra ℵ (alef) vem do alfabeto hebraico e representa a natureza infinita e a unicidade de Deus. Essa letra foi escolhida para simbolizar um novo começo para a Matemática a partir da inclusão do conceito de infinito real ou absoluto”^xv.

O conceito de infinito absoluto ainda é palco de muita discussão no meio acadêmico. Não desejo (e não tenho conhecimento suficiente para) apresentar uma conclusão sobre o tema. Porém antes de avançar para o próximo termo é necessário fazer as seguintes perguntas: há realmente algo infinto no mundo? O infinito é algo indefinido e incompleto, ou é completo e definido? Novamente, a Ciência e a Filosofia, não têm uma resposta definitiva.

O imensurável, diferentemente do infinito, tem origem no latim immeasurabilis, que significa literalmente “algo que não pode ser medido” ou “que não possui medida”. Em outras palavras, o imensurável significa algo que se desconhece limite, contudo, pode ter um limite desconhecido ou oculto; logo, imensurável é algo que tem fim, mas não é conhecido. Por exemplo “[existe] um mundo muito vasto para ser visto por completo, porém se fosse possível ser visto inteiro, poderia chegar ao fim”^xvi.

Já o ilimitado, do latim illimitātus, significa “não limitado” ou “sem limites”. Enquanto imensurável é algo que não possa ser mensurável, ilimitado é algo que não possui limites ou restrições, o que não significa infinito. A diferença entre “ilimitado” e “infinito” está na conjuntura em que são aplicados. Na prática, quando se trata de algo mensurável e sem restrições conhecidas, “ilimitado” pode ser escolhido apropriadamente. Ao discutir conceitos mais abstratos, teóricos ou transcendentes além das limitações práticas, “infinito” pode ser adotado^xvii.

Concluindo, o conceito de infinito (potencial, real ou absoluto), usado em vários campos, como a Matemática, Filosofia e a Teologia, adquire diferentes significados dependendo do contexto^xviii. Imensurável é empregado mais de contextos conceituais: pode ser utilizado em momentos onde se deseja enfatizar a grandeza ou a intensidade de algo que vai além dos limites da medição ou compreensão. Ilimitado é aplicável em contextos práticos, onde se quer expressar a falta de restrições tangíveis, como recursos financeiros, acesso a informações etc.

Notas bibliográficas:

i AnderBR. Diferença entre Infinito, Imensurável e Ilimitado. In: Crossverse Wiki. Publicado em: 19 out. 2023. Disponível em: <https://crossverse.fandom.com/pt-br/wiki/Blog_de_usu%C3%A1rio:AnderBr/Diferen%C3%A7a_entre_Infinito,_Imensur%C3%A1vel_e_Ilimitado>. Acesso em: 26 fev. 2025.

ii DOWDEN, Bradley. The Infinite. California State University, Sacramento. In: Internet Encyclopedia of Philosophy. Disponivel em: <https://iep.utm.edu/infinite/>. Acesso em: 04 mar. 2025.

iii “Uma grandeza, seja ela muito grande ou muito pequena, se for finita é mensurável, pois pode ser medida, diferente do que é infinito, que não pode ser contado nem medido e por isso é imensurável”. DELFINO, Hudson Sathler. O conceito de infinito: uma abordagem para a Educação Básica. (Dissertação de Mestrado em Matemática). Viçosa: UFV, 2015: 4.

iv AnderBr. Ibidem.

v MONTEIRO, Gisele de Lourdes. Considerações históricas sobre o infinito e alguns de seus paradoxos. (Trabalho de Graduação em Licenciatura em Matemática). Guaratinguetá: UNESP, 2015, p. 16-20. Disponível em: <https://repositorio.unesp.br/server/api/core/bitstreams/8ed43eea-c892-4ff1-bc98-00a842f2090b/content>. Acesso em: 05 mar. 2025.

vi DOWDEN, Op. cit.

vii SOTEROPOULOS, Ion. Metaphysics of Infinity: The Problem of Motion and the Infinite Brain. Lanham, Maryland: University Press of America, 2013, p. 27. Disponível em: <https://books.google.com/books?id=p21BAgAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA27&dq=two+infinities+aristotle+the+small+physics+203a&hl=pt-BR>. Acesso em: 05 mar. 2025.

viii PUENTE, Fernando Rey. O pensamento e o Ápeiron em Aristóteles. In: HYPNOΣ, ano 6 / nº 7 - 2º sem. 2001 - São Paulo, p. 162. Disponível em: <https://www.researchgate.net/profile/Fernando-Puente-2/publication/337937607_O_pensamento_e_o_Apeiron_em_Aristoteles/links/5df6169ba6fdcc2837227427/O-pensamento-e-o-Apeiron-em-Aristoteles.pdf>. Acesso em: 05 mar. 2025.

ix LOMBARDO-RADICE, Lucio. O Infinito: de Pitágoras a Cantor: itinerários filosóficos matemáticos de um conceito base. Lisboa: Editorial Notícias, 1981.

x DE CARVALHO, T.,D’OTTAVIANO, I.. Sobre Leibniz, Newton e infinitésimos, das origens do cálculo infinitesimal aos fundamentos do cálculo diferencial paraconsistente. Educação Matemática Pesquisa ISSN 1983-3156, América do Norte, 8, mar. 2008.

xi DELFINO, Hudson. O conceito de infinito: uma abordagem para a Educação Básica. (Dissertação de Mestrado em Matemática). Viçosa: UFV, 2015, p. 9

xii DELFINO, ibidem, p. 8.

xiii BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomides. São Paulo: Edgard Blucher, Editora da Universidade de São Paulo, 1974 apud DELFINO, ibidem, p. 11.

xiv GAI PEREIRA, Fábio. Séries infinitas, existência de Deus e criação do mundo em Tomás de Aquino. (Tese de Doutorado em Filosofia). Porto Alegre: UFRS, 2023, p. 8.

xv MARTINS, Rodrigo. O Infinito Absoluto. In: Atitude Reflexiva. Publicado em: 14 ago. 2017. Disponível em: <http://atitudereflexiva.wordpress.com/2017/08/14/o-infinito-absoluto/>. Acesso em 06 mar. 2025.

xvi AnderBr, Ibidem.

xvii AnderBr, Ibidem. "A distinção entre infinito e ilimitado foi feita por Aristóteles, que denominava o ilimitado de infinito por semelhança. Enquanto no infinito é sempre possível tomar uma nova parte, mas essa parte é sempre nova, no Ilimitado a parte que se pode tomar nem sempre é nova. Um anel sem engaste é um exemplo de Ilimitado: é possível ir sempre além, ao longo de sua circunferência, mas estar-se-á passando sempre pelos mesmos pontos. Essa distinção, que ficou esquecida durante séculos, foi retomada por Einstein quando este afirmou que o mundo é finito e ao mesmo tempo Ilimitado, exatamente no sentido aristotélico". In: Ilimitado. Dicionário de Filosofia. Só Filosofia. Disponível em: <https://filosofia.com.br/vi_dic.php?pg=1&palvr=I>. Acesso em: 06 mar. 2025.

xviii Para mais detalhes, cf. COSTA, João Paulo Pita da; MADEIRA, Marta Augusta da C. Ramires. História do Conceito de Infinito. Universidade Lusófona de Humanidades e Tecnologias. Curso de Matemática. Cadeira de História da Matemática, s/d. Disponível em: <https://edmatematica1.wordpress.com/wp-content/uploads/2014/07/oinfinitoemmatematica1.pdf>. Acesso em: 06 mar. 2025; Infinito atual e infinito potencial. Wikipedia. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Infinito_atual_e_infinito_potencial>. Acesso em: 06 mar. 2025; Infinito. Wikipedia. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Infinito>. Acesso em: 06 mar. 2025; Cf. alguns debates: https://pt.quora.com/O-infinito-existe-Eu-s%C3%B3-consigo-ver-o-infinito-na-matem%C3%A1tica-de-forma-te%C3%B3rica-mas-no-Universo-nada-%C3%A9-infinito; https://www.quora.com/Is-infinity-a-real-concept-used-in-the-real-world; https://pt.quora.com/O-infinito-%C3%A9-algo-real; https://pt.quora.com/O-que-%C3%A9-o-infinito; https://pt.quora.com/Se-o-infinito-n%C3%A3o-%C3%A9-um-n%C3%BAmero-ent%C3%A3o-o-que-%C3%A9; https://www.reddit.com/r/askphilosophy/comments/y6oux6/what_is_diffrence_with_absolute_infinite_and/?tl=pt-br&rdt=55684#:~:text=No%20cont%C3%Adnuo%2C%20o%20todo%20%C3%A9,n%C3%Bamero%20maior%2C%20nem%20linha%20menor.&text=Costumo%20dizer%20que%20existem%20tr%C3%Aas%20graus%20de%20infinito.

Link da imagem: <https://i0.wp.com/www.culturaespiritual.com.br/wp-content/uploads/2019/08/infinito.jpg?resize=300%2C300&ssl=1>. Acesso em: 06 mar. 2025.